Intorno al 2900 a.C gli antichi Egizi scoprirono che per alcune terne di numeri, a, b, c, corrispondenti alle misure dei lati di un triangolo rettangolo si verifica che:
A² + B² = C²
Più tardi, nel VI secolo a.C. Pitagora intuì che la proprietà scoperta dagli Egizi vale per tutti i triangoli rettangoli e quindi si può dire che:
In un qualsiasi triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati che hanno come lati i due cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa:
A + B = C
L’estensione del quadrato C è uguale alla somma delle estensione di A e di B.
Anziché graficamente e quindi senza aver avuto la possibilità di contare i quadrati interni, se avessimo avuto la possibilità di disporli su una bilancia avremmo notato che sarebbero rimasti in equilibrio.
Un'altra verifica della proprietà può essere effettuata con una prova grafica.
Costruendo otto triangoli rettangoli congruenti al triangolo ABC e due quadrati che hanno per lato la somma dei cateti del triangolo ABC, ed incollando quattro triangoli sul primo quadrato e quattro sul secondo, come rappresentato qui sotto:
Si potrebbe facilmente osservare che nella seconda figura la parte rimasta scoperta è un quadrato C che ha per lato l'ipotenusa del triangolo ABC; invece, nella seconda sono rimasti scoperti i quadrati A e B che hanno per lati, rispettivamente, i cateti a e b di ABC.
Quindi, si ha che:
Il quadrato C è equivalente alla somma dei quadrati A e B, perché differenze di poligoni congruenti.
Abbiamo così verificato la proprietà nota come Teorema di Pitagora:
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Sappiamo che due poligoni equivalenti hanno la stessa area, quindi possiamo enunciare il teorema di Pitagora anche in questo modo:
In un triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.In simboli, indicando A, B, C, rispettivamente, le aree dei quadrati A, B, C, si ha che:
C = A + B; cioè: c² = a² + b²
da cui si ricavano le seguenti formule:
a² = c² - b²
b² = c² - a²
Ora, estraendo la radice quadrata dei due membri delle ultime tre uguaglianze, si ha che:
Dunque, possiamo dire che:
La misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure dei cateti.
La misura di un cateto di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato della misura dell'ipotenusa e il quadrato della misura dell'altro cateto.
Le formule del teorema di Pitagora sono le seguenti:
C1= cateto maggiore; C2= cateto minore; I = ipotenusa.
Problemi con il Teorema di Pitagora
Applichiamo le formule che abbiamo scritto in precedenza nella risoluzione di due problemi.
1) Sai dire qual è la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha i cateti, rispettivamente, di 15 cm e 20 cm?
DATI:
AB = 15 cm
AC = 20 cm
BC = ?
BC = √AB² + CA² = √15² + 20² = √225 + 400 = √625 = 25 cm.
L'ipotenusa è di 25 cm.
2) Calcola la misura del cateto AB di un triangolo rettangolo ABC, sapendo che l'ipotenusa BC e il cateto AC sono, rispettivamente, di 2,6 m e 2,4 m.
DATI:
BC = 2,6 m
CA = 2,4 m
AB = ?
AB = √BC² - CA² = √2,6² - 2,4² = √6,76 - 5,76 = √1 = 1 m.
La misura del cateto AB è 1 m.
