Il lato di un quadrato è medio proporzionale

Il lato di un quadrato è medio proporzionale tra le basi di un trapezio rettangolo. Sapendo che il trapezio ha l'area di 1184 cm², l'altezza di 32 cm e il suo lato obliquo di 40 cm, calcola l'area del quadrato e la misura della sua diagonale.
(RISPOSTA: 1225 cm, 49,49 cm)

Svolgimento:
La formula dell'area del trapezio è:
A = (B + b) x h : 2

Invertendola, è possibile trovare la somma delle due basi dai dati:

B + b = 2 x A : h = 2 x (1184 cm²) : (32 cm) = 74 cm

Poiché il trapezio è rettangolo, la somma delle due basi è uguale al doppio della base minore sommato alla proiezione del lato obliquo (chiamiamola s) sulla base maggiore.

s si trova applicando il teorema di Pitagora al triangolo che ha per ipotenusa il lato obliquo e per cateto l'altezza h:

s = √(l² - h²) = √(1600 - 1024) cm = 24 cm

Allora

B + b = 74 cm = 2 x b + s = 2 x b + 24 cm
2 x b = 74 cm - 24 cm = 50 cm
b = 25 cm

e

B = b + s = 25 cm + 24 cm = 49 cm


Ricapitolando, il trapezio è formato da:

B = 49 cm
b = 25 cm
h = 32 cm
l = 40 cm

Ora è possibile impostare la proporzione sul lato L del quadrato:

B : L = L : b
L² = B x b = 1225 cm²

Questa è proprio l'area del quadrato.

L = √(1225) cm = 35 cm

La diagonale del quadrato si trova con la formula

d = L x √(2) = 35 cm x 1,4 = 49 cm