La base di un prisma retto è un rombo di cui si conoscono la misura della diagonale

La base di un prisma retto è un rombo di cui si conoscono la misura della diagonale minore 18 m e la misura del raggio del cerchio inscritto in esso è 7,2 m. Calcola l'area totale del prisma sapendo che è alto 63 m.

Svolgimento:

E’ sufficiente concentrarci sulla base a forma di rombo e in particolare su uno dei triangoli rettangoli che le diagonali suddividono.
Di questo triangoli si conosce il cateto minore = metà diagonale minore = 9 m e l’altezza relativa all'ipotenusa (lato del rombo) = raggio circonferenza inscritta = 7,2 m.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolino formato dal cateto e dall'altezza si trova la proiezione minore sull'ipotenusa:

proiezione minore = √(81 – 51,84) = 5,4 m

Ora si può trovare l’ipotenusa (= lato rombo) del triangolo rettangolo considerato, mediante il primo teorema di Euclide:

lato rombo = ipotenusa = cateto^2 / sua proiezione = 81 / 5,4 m = 15 m.

Con il teorema di Pitagora si può trovare metà della diagonale maggiore:

D/2 = √(15^2 – 9^2) = √(225 – 81) = 12 m, per cui:

D = 24 m.

Perimetro del rombo = 4*15 m = 60 m

Area del rombo = (1/2) D * d = (1/2) 24 * 18 m² = 216 m²

Superficie laterale prisma = 60 m * 63 m = 3780 m²

Superficie totale prisma =3780 m² + 2*216 m² = 4212 m²