In un qualsiasi triangolo, la somma degli angoli interni è un angolo piatto. Infatti, ritagliando i tre angoli di un triangolo e rendendoli consecutivi (come il triangolo a sinistra), otteniamo un angolo piatto.La somma degli angoli interni misura quindi 180°.
Abbiamo inoltre verificato che in un qualsiasi poligono e quindi in un qualsiasi triangolo la somma degli angoli esterni è di due angoli piatti. Un esempio è il secondo triangolo illustrato, vediamone il ragionamento.
La somma degli angoli interni ed esterni (uno per vertice) è di tre angoli piatti.
La somma degli angoli interni è di un angolo piatto, quindi, per differenza: la somma degli angoli esterni è di due angoli piatti e misura 360°.Consideriamo ora il terzo ed ultimo triangolo, l'angolo esterno CBD adiacente all'angolo interno ABC, osserviamo che:
ABC + BCD = 180° perché gli angoli ABC e CBD sono adiacenti e quindi anche supplementari.ABC + ACB + BAC = 180° perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
Da ciò si ha che:
CBD = ACB + BAC
Possiamo dire quindi che:
In un qualsiasi triangolo un angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti.
Da questa proprietà segue immediatamente che:
Un angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente.
