Un triangolo isoscele ha il perimetro di 64 m ed uno dei lati obliqui di 20 m. Determinate il volume totale del solido che si ottiene facendo ruotare di un giro completo il dato triangolo, prima intorno alla sua base e poi intorno al lato obliquo. Suggerimento: (calcolate l'area del triangolo e l'altezza relativa al lato obliquo).
Svolgimento:
La prima rotazione genera due coni congruenti, con la base comune
L'altezza del triangolo è raggio di base
La semibase è altezza di ciascun cono
16 * 16 * π = 256π m² --- area di base
256π * 12 / 3 * 2 = 2.048π cm³ --- VOLUME del solido generato dalla rotazione intorno alla base del triangolo
La seconda rotazione genera due coni con la base comune.
L'altezza relativa al lato obliquo del triangolo è raggio di base.
L'altezza di ciascun cono è rispettivamente la proiezione della base e quella del lato obliquo sul lato obliquo attorno a cui avviene la rotazione
24 * 16 / 20 = 19,2 m --- altezza relativa al lato obliquo
19,2 * 19,2 * π = 368,64π m² --- area di base
√¯ ( 24 * 24 - 19,2 * 19,2 ) = √¯ 207,36 = 14,4 m --- proiezione della base
√¯ ( 20 * 20 - 19,2 * 19,2 ) = √¯ 31,36 = 5,6 m --- proiezione del lato obliquo
368,64π * 14,4 / 3 = 1.769,472π m³ --- volume del cono maggiore
368,64π * 5,6 / 3 = 688,128π m³ --- volume del cono minore
688,128π + 1.769,472π = 2.457,6π m³ --- VOLUME del solido generato dalla rotazione intorno al lato obliquo
Svolgimento:
La prima rotazione genera due coni congruenti, con la base comune
L'altezza del triangolo è raggio di base
La semibase è altezza di ciascun cono
16 * 16 * π = 256π m² --- area di base
256π * 12 / 3 * 2 = 2.048π cm³ --- VOLUME del solido generato dalla rotazione intorno alla base del triangolo
La seconda rotazione genera due coni con la base comune.
L'altezza relativa al lato obliquo del triangolo è raggio di base.
L'altezza di ciascun cono è rispettivamente la proiezione della base e quella del lato obliquo sul lato obliquo attorno a cui avviene la rotazione
24 * 16 / 20 = 19,2 m --- altezza relativa al lato obliquo
19,2 * 19,2 * π = 368,64π m² --- area di base
√¯ ( 24 * 24 - 19,2 * 19,2 ) = √¯ 207,36 = 14,4 m --- proiezione della base
√¯ ( 20 * 20 - 19,2 * 19,2 ) = √¯ 31,36 = 5,6 m --- proiezione del lato obliquo
368,64π * 14,4 / 3 = 1.769,472π m³ --- volume del cono maggiore
368,64π * 5,6 / 3 = 688,128π m³ --- volume del cono minore
688,128π + 1.769,472π = 2.457,6π m³ --- VOLUME del solido generato dalla rotazione intorno al lato obliquo
